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第2讲 三角形有限单元法

-弹性力学平面问题的求解方程组

在平面问题里,弹性力学的求解未知量为:
σ? ?x

?

? y ? xy ?T

ε ? ?x

?

?y

? xy ?T

/>u ? ?u v ?

T

其物理和几何方程可表示如下:
几何方程 物理方程

ε ? L.u
σ ? D.ε
?? ? ? ?x L?? 0 ? ?? ? ? ? ?y

(2.1) (2.2)

? ? 0 ? ? 1 ?0 D ? D 0 ?对 1 0 ? ? 1 ? ?0 ? ? ? 称 2 ? ?

? 0? ? ?? ?y ? ?? ? ?x ? ?

-瑞利李兹法的位移函数

对于右图所示的 任意形状的分析 物体,要找到一 个满足位移边界 条件的、全域的 位移函数,是很 困难的。 其中的待定系数 Am、Bm没有特定 的含义。 的含义

-有限单元法的思路 弹性力学方程组直接求解的困难在于难于找到一个全 弹性力学方程组直接求解的困难在于难于找到 个全 域的精确函数.在有限单元法里,这个问题可以通过 定义分片插值的位移或应力函数来解决;
y

m j i

x

分析域上的单元和结点离散 任意单元i j m

-用结点位移作为待定系数假设单元的位移函数 假设分析区域被划分成了n个结点、m个单元,对二维 分析,本问题的求解未知量为n个结点上的位移(ui ,vi) 对于任意单元(i, j, m),以结点位移(ui, uj, um)为待 定系数,可以很容易给出该单元的插值函数:
u ? N i ( x, y )ui ? N j ( x, y )u j ? N m ( x, y )u m

其中Ni (x, y)为各结点坐 标(xi, yi)为表示的函数。 如何在三角形单元上构造出 上述的单元位移函数???

-三角形单元位移函数的构造过程 设该三角形单元的位移插值函数为:

u ? ?1 ? ? 2 x ? ? 3 y

(2 3) (2.3)

将三个结点的坐标和待求结点位移代入上式得:
? u i ? ? 1 ? ? 2 xi ? ? 3 y i ? ? u j ? ?1 ? ? 2 x j ? ? 3 y j ?u ? ? ? ? x ? ? y 1 2 m 3 m ? m
(2.4)

-三角形单元位移函数的构造过程 求解该线性方程组(2.4) (2 4)即可得到三个待定系数(β1β2β3):

其中

-三角形单元位移函数的构造过程 将(β1β2β3)代入单元插值位移插值函数(2.3),经过整理 后得到:
u ? N i ( x, y )ui ? N j ( x, y )u j ? N m ( x, y )u m

其中Ni称为单元的形函数: 称为单元的形函数 1 ?ai? ? bi?x ? ci? y ? N i ( x, y ) ? 2A
?ai? ? x j y m ? x m y j ? (i, j , m) ?bi? ? y j ? y m ?c ? ? ? x ? x j m ? i

(2.5)

同理得到v方向的位移函数:
v ? N i ( x, y )vi ? N j ( x, y )v j ? N m ( x, y )vm

-矩阵形式的三角形单元位移函数 将单元插值位移函数写成矩阵的形式:

?u ( x, y )? ? N i u?? ??? ? v ( x, y ) ? ? 0

0 Ni

Nj 0

0 Nj

Nm 0

简记为
?u ? u ? ? ? ? Ni ?v ?

? ui ? ?v ? ? i? 0 ?? ?u j ? ? ? ? Nm ? ?? v j ? ?um ? ? ? ? ?um ? ?

(2.6)

?

Nj

? ai ? ? ? N m ? a j ? ? Na e ?a ? ? m?

?

?u i ? 其中, a i ? ? ? ?vi ?

-单元的应变矩阵 将单元插值函数(2.6)代入几何方程(2.1)得单元应变:
? ?N i ? ? ?x ε ? L.u ? ? ? 0 ? ? ?N i ? ? ?y 0 ?N i ?y ?N i ?x ?N j ?x 0 ?N j ?y 0 ?N j ?y ?N j ?x ?N m ?x 0 ?N m ?y ? ? ui ? 0 ? ? vi ? ?? ? ?N m ? ? ?u j ? ? ? ? ?y ? ? v j ? ? ?N m ? ?um ? ? ? ?x ? ?? ?um ? ?

简记为
ε ? Bi
其中应变矩阵:

?

Bj

B m a e ? Ba e
? 0 ? ? bi? ? ?N i ? 1 ? ? 0 ? ? 2A ?y ? c i? ? ? ?N i ? ?x ? ?

?

(2.7)

? ?N i ? ? ?x Bi ? ? 0 ? ? ?N ? i ? ? ?y

0? c i? ? ? bi? ? ?

(2.8)

-单元的应变矩阵的特点 从(2.8)式可以发现三 角形单元的应变矩阵 是常量矩阵 故对于 是常量矩阵,故对于 存在应力梯度等问题 的求解 三角形单元 的求解,三角形单元 的精度较低。

它的优点是原理简单,能较好地离散曲线边界。

-单元的应力矩阵 将单元应变(2.7)代入物理方程(2.2)得单元应力:

σ ? Dε ? DBa ? Sa
e

e

(2.9)

其中单元应力矩阵

S ? DB

(2.10)

-弹性体的总势能 弹性体的总势能可表示为

? ? ?? ? ? f
1 T ? ? ε σ d? ? ? u T f d? ? ? e u T T d? ? 2 ? S?

(2.11)

将单元位移(2.6)、应变(2.7)和应力(2.9)式代入上式可以 求出单元势能和弹性体的总势能:
? eT 1 T e? ? ? ??a B DB tdxdy a ?? ? ? e 2 ? e ?
T T eT eT ? ? ? a N f tdxdy ? a N T tds ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?e Se ? ? ? ? e e

(2.12)

-最小势能原理 根据最小势能原理与弹性力学求解体系的等价性,对 总势能取驻值:

?? ? 0
得整体平衡方程

? ?K a ? ? ? F
e e e e
?e

e
(2 13) (2.13)

其中

K e ? ? B T DBtdxdy
F e ? ? N T ftdxdy ? ? e N T Ttds
?e s?

(2.14a)

(2.14b)

-有限元求解方程组

按对号入座的原则对单元方程进行组集,得到整体求 解的结构控制方程 :

K ?a ? F
K为2n×2n的方阵,F为2n的列阵。

(2.15)

求解该线性方程组可以得到每个结点的位移(ui , vi) 值; 值 由 (2.7)和(2.9)式可以求出单元内任意点的应力和应变。

-有限元求解过程总结 有限元法通过单元离散和 最小势能原理,把定解条 件下的微分方程组的求解 巧妙地转化为线性方程组 的运算 它的核 是单元 的运算,它的核心是单元 分析; 不同的单元类型或数值计 算方法在上述各个具体步 骤上会有 些自 的特色 骤上会有一些自己的特色 或特点,但是它们的的基 本计算过程脱不开上述的 框架。

2. 分析实例

-模型及网格划分 取1/4作为分析模型如图 (b)所示,划分为4个三角形单元, 6个结点;故本题有限元求解的方程组为:

?K ?
y
2N/m 1N/m
1

? ?a? ? ?F ?

12 ? 12 12 ? 1 12 ? 1
y

2m

x 0
2m
(1) 2 (3) 4 (2) 5 (4) 6 3

x

2m

2N/m 2m

(a)

(b)

-单元弹性矩阵和应变矩阵 该问题可以简化为平面应力问题求解,假设弹性模量为 E,泊松比0,则各单元的弹性矩阵为
?1 对 ? ? ?D? ? E ? ? 0 1 称 ? ? ?0 0 0.5? ? ?

任取一单元③,设其局部编号为,则其应变矩阵为
? ? 1 0 0 0 1 0? ? ?B? ? ? 0 0 0 ? 1 0 1 ? ? ? ? 0 ? 1 ? 1 0 1 1? ?
2
i

3
m

(3)

j

5

-单元刚度矩阵
2
i

3
m

(3)

单元③的刚度矩阵为:
j

5

3 4 9 10 5 6 3 ?2 0 0 0 ?2 0 ? ? 4 ? 0 1 1 0 1 1 ? ? ? ? T 0 1 1 0 ? 1 ? 1 ? ? Et ?K e③ ? ? ?B? ?D??B?? tA ? 9 ? ? ? 4 10 ? 0 0 0 2 0 ? 2? 5 ?? 2 ? 1 ? 1 0 3 1 ? ? ? 6 ? 3? ? 0 ? 2 ?1 ? 2 1 ?

-单元刚度矩阵的组集 按对号入座的原则将单元刚度矩阵Ke叠加到整体刚度矩 阵K中
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 5 ? ? 6 ?K ? ? ? 7 ? ? 8 ? 9 ? ? 10 ? ? 11 ? 12 ? ? 1

* * * * * * * * * * * * * * * *

* * * * * * * *

* * * * * * * *

* * * *

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

-所有单元组集后的刚度矩阵

再按同样的方法,最后得到本题的有限元求解方程为
?1 ? ?u1 ? ? 0 ? ?0 ? ? v ? ?? 1? 2 ? ? ? 1? ? ? ?? 1 0 ? ?u 2 ? ? 0 ? 6 ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 2 1 6 对 ? ? ? v2 ? ? 0 ? ?0 ? ?u3 ? ? 0 ? 0 ? 4 ?1 6 ? ? ? ? ? ? 1 0 ? 1 ? 2 1 6 称 Et ? ? ? ? v3 ? ? ? 0 ? ? ?u ? ? 0 ? ?1 0 3 4 ? ? ? ? 4? ? ? ?1 ? 2 1 3 ? ? ? v4 ? ? 0 ? ? ? ?u ? ? 0 ? 0 1 ? 2 ?1 ? 2 0 6 ? ? ? 5? ? ? ? ? ? v5 ? ? 0 ? 1 0 ?1 ? 4 ?1 ?1 1 6 ? ? ? ? ? ? ? 2 0 2 ? ? ?u6 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? 1 0 1? ? ?v6 ? ? 0 ?

-引入位移边界条件 该问题的位移边界条件为 u1 ? u 2 ? u 4 ? 0
v 4 ? v5 ? v 6 ? 0

在上面的方程中消去对应的结点位移为0的项,得到最 后的求解方程组为
?2 ? ? v1 ? ?? 1? ?? 2 6 ? ?v ? ? 0 ? 对 ? ? ? 2? ? ? 称 ? ? Et ? 0 ? 1 6 ? ? ?0? ? ?u 3 ? ? ??? ? ? ? ? 6 4 ? 0 ?2 1 ? ? v3 ? ? 0 ? ?0 ? ?u 5 ? ? 0 ? 1 ? 2 ?1 6 ? ? ? ? ? ? ? ? ?u 6 ? 0 0 0 0 2 2 ? ? ? ? ? ?0? ?

-求解位移、应变和应力 从上式中求解得到结点位移
? v1 ? ?? 3.253? ?v ? ? ? 1.253 ? 2 ? ? ? ? ? ?u 3 ? ? 1 ? ?? 0.088? ? ? ? ? ? ? v 0 . 374 ? Et ? 3? ? ? ?u 5 ? ? 0.176 ? ? ? ? ? ? ? ? 0.176 ? ? ?u 6 ? ?

有了结点位移后,将其代入 ?? ? ? ?B ??a e ? 可以求出单元应变; 代入 ?? ? ? ?D??? ? 可以求出单元应力。

3. 作业 作
设弹性模量为E=1,泊松比为0.5, 重新求解上述分析实例。


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