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2013高三数学一轮复习课时限时检测:第二单元 对数与对数函数


(时间 60 分钟,满分 80 分) 一、选择题(共 6 个小题,每小题 5 分,满分 30 分)
? 1 2

1.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 1 A. 3 C. 2 4 B. D. 3 6 3 3

等于(

)

解析:由条件知,log3(log2x)=1,

∴log2x=3,∴x=8, ∴x
? 1 2



2 . 4

答案:C 2.若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,且 f(2)=1,则 f(x)=( A.log2x 1 C.log x 2 1 B. x 2 D.2x
-2

)

解析:f(x)=logax,∵f(2)=1,∴loga2=1,∴a=2. ∴f(x)=log2x. 答案:A
? 1 2

3.设 a=log32,b=ln2,c=5 A.a<b<c C.c <a<b

,则(

)

B.b<c<a D.c<b<a
1

? ln2 1 1 1 解析:a=log32= <ln2=b,又 c=5 2 = < ,a=log32>log3 3= ,因此 c<a<b. ln3 2 2 5

答案:C 4.函数 y=ln(1-x)的图象大致为( )

解析: 依题意由 y=lnx 的图象关于 y 轴对称可得到 y=ln(-x)的图象, 再将其图象向右平移 1 个单位即可得到 y=ln(1-x)的图象,变换过程如 图. 答案:C
-1-

5.设函数 f(x)定义在实数集上,f(2-x)=f(x),且当 x≥1 时,f(x)=lnx,则有( 1 1 A.f( )<f(2)<f( ) 3 2 1 1 C.f( )<f( )<f(2) 2 3 1 1 B.f( )<f(2)<f( ) 2 3 1 1 D.f(2)<f( )<f( ) 2 3

)

解析:由 f(2-x)=f(x)可知 f(x)关于直线 x=1 对称, 当 x≥1 时,f(x)=lnx ,可知当 x≥1 时 f(x)为增函数, 所以当 x<1 时 f(x)为减函数, 1 1 因为| -1|<| -1|<|2-1|, 2 3 1 1 所以 f( )<f( )<f(2). 2 3 答案:C 1 6.已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=( )x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1),则 f(2+log23) 2 =( ) 1 A. 24 1 C. 8 1 B. 12 3 D. 8

解析:∵2<3<4=22,∴1<log23<2. ∴3<2+log23<4, ∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log2 24) 1 lo g =( ) 2
2

24

=2

? lo g 2 2 4

=2

lo g 2

1 24



1 . 24

答案:A 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 7.|1+lg0.001|+ 1 lg2 -4lg3+4+lg6-lg0.02 的值为________. 3

解析:原式=|1-3|+|lg3-2|+lg300=2+2-lg3+lg3+2=6. 答案:6 8.若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小 值的 3 倍,则 a=________. 解析:本题考查了对数函数的性质.
1

∵0<a<1,∴logaa=3loga2a, 2a= a 3 ,得 a= 答案: 2 4

2 . 4

-2-

?3x 1,x≤0 ? 9.已知函数 f(x)=? ,则使函数 f(x)的图象位于直线 y=1 上方的 x 的取值范 ? ?log2x,x>0



围是__________. 解析:当 x≤0 时,3x 1>1?x+1>0,∴-1<x≤0 ; 当 x>0 时,log2x>1?x>2,∴x>2 . 综上所述,x 的取值范围为-1<x≤0 或 x>2. 答案:{x|-1<x≤0 或 x>2} 三、解答题(共 3 小题,满分 35 分) 10.设 a>0,a≠1,函数 y=a 间. 解:设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x∈R 时,t 有最小值 lg2. 又因为函数 y=a 所以 0<a<1. 又因为 f(x)=loga(3-2x-x2)的定义域为{x|-3<x<1}, 令 u=3-2x-x2,x∈ (-3,1),则 y=logau. 因为 y=logau 在定义域内是减函数, 当 x∈ ( ? 3, ? 1] 时,u=-(x+1)2+4 是增函数, 所以 f(x)在 ( ? 3, ? 1] 上是减函数. 同理,f(x)在[-1,1)上是增函数.故 f(x)的单调减区间为 ( ? 3, ? 1] ,单调增区间为[-1,1). 11.已知函数 f(x)=loga(2-ax),是否存在实数 a,使函数 f(x)在[0,1]上是关于 x 的减函 数,若存在,求 a 的取值范围. 解:∵a>0,且 a≠1, ∴u=2-ax 在[0,1]上是关于 x 的减函数. 又 f(x)=loga(2- ax)在[0,1]上是关于 x 的减函数, ∴ 函数 y=logau 是关于 u 的增函数,且对 x∈[0,1]时, u=2-ax 恒为正数.
? ?a>1 其充要条件是? ,即 1<a<2. ? ?2-a>0
lg ( x ? 2 x ? 3 )
2



lg ( x ? 2 x ? 3 )

2

有最大值,求函数 f(x)=loga(3-2x-x2)的单调区

有最大值,

∴a 的取值范围是(1,2). 12.若 f(x)=x2-x+b,且 f(log2a)=b,log2f(a)=2(a≠1). (1)求 f(log2x)的最小值及对应的 x 值; (2)x 取何值时,f(log2x)>f(1),且 log2f(x)<f(1).

-3-

解:(1)∵f(x)=x2-x+b, ∴f(log2a)=(log2a)2-log2a+b, 由 已知(log2a)2-log2a+b=b,∴log2a(log2a-1)=0. ∵a≠1,∴log2a=1,∴a=2. 又 log2f(a)=2,∴f(a)=4. ∴a2-a+b=4,∴b=4-a2+a=2.故 f(x)=x2-x+2. 从而 f(log2x)=( log2x)2-log2x+2 1 7 =(log2x- )2+ . 2 4 1 7 ∴当 log2x= ,即 x= 2时,f(log2x)有最小值 . 2 4
??log2x?2-log2x+2>2 ? (2)由题意? 2 ? ?log2?x -x+2?<2 ?x>2或0<x<1 ? ?? ?0<x<1. ? ?-1<x<2

-4-


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